反比例函数的教学设计

知识技能目标

1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质;

2.利用反比例函数的图象解决有关问题.

　　过程性目标

1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质;

2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.

教学过程

一、创设情境

上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课，我们就来讨论一般的反比例函数「k是常数，k≠0」的图象，探究它有什么性质.

二、探究归纳

1.画出函数的图象.

分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0.

解1.列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点「-6,-1」、「-3,-2」、「-2,-3」等.

3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象.

上述图象，通常称为双曲线「hyperbola」.

提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?

学生试一试：画出反比例函数的图象「学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的.步骤」.

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题.

1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?

2.反比例函数「k≠0」的图象在哪两个象限内?由什么确定?

3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?

反比例函数有下列性质：

「1」当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

「2」当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

注1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;

2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.

以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?

在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少.

在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小.

三、实践应用

例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值.

分析由反比例函数的定义可知：,又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值.

解由题意，得解得.

例2已知反比例函数「k≠0」，当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.

分析由于反比例函数「k≠0」，当x>0时，y随x的增大而增大，因此k<0，而一次函数y=kx-k中，k<0，可知，图象过二、四象限，又-k>0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方.

解因为反比例函数「k≠0」，当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限.

例3已知反比例函数的图象过点「1,-2」.

「1」求这个函数的解析式，并画出图象;

「2」若点A「-5,m」在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?

分析「1」反比例函数的图象过点「1,-2」，即当x=1时，y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;

「2」由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.

解「1」设：反比例函数的解析式为：「k≠0」.

而反比例函数的图象过点「1,-2」，即当x=1时，y=-2.

所以，k=-2.

即反比例函数的解析式为：.

「2」点A「-5,m」在反比例函数图象上，所以，

点A的坐标为.

点A关于x轴的对称点不在这个图象上;

点A关于y轴的对称点不在这个图象上;

点A关于原点的对称点在这个图象上;

例4已知函数为反比例函数.

「1」求m的值;

「2」它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?

「3」当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值.

解「1」由反比例函数的定义可知：解得，m=-2.

「2」因为-2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大.

「3」因为在第个象限内，y随x的增大而增大，

所以当x=时，y最大值=;

当x=-3时，y最小值=.

所以当-3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为.

例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米.

「1」写出用高表示长的函数关系式;

「2」写出自变量x的取值范围;

「3」画出函数的图象.

解「1」因为100=5xy,所以.

「2」x>0.

「3」图象如下：

说明由于自变量x>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.

1.反比例函数的图象是双曲线「hyperbola」.

2.反比例函数有如下性质：

「1」当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

「2」当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

五、检测反馈

1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：

「1」;「2」.

2.已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：

「1」y和x的函数关系式;

「2」当时，y的值;

「3」当x取何值时，?

3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值.

4.已知反比例函数经过点A「2,-m」和B「n,2n」，求：

「1」m和n的值;

「2」若图象上有两点P1「x1,y1」和P2「x2,y2」，且x1<0<x2，试比较y1和y2的大小.